Veamos un ejemplo práctico:
¿Qué exponente tienes que ponerle a la base 10 para obtener como resultado 1000? La respuesta es 3, porque 10^3=1000.
Por eso se dice que el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, y se escribe
log_10 (1000)=3.
Cuando usas la base 10, como en este ejemplo, estás trabajando con el logaritmo decimal. Pero tu base puede ser cualquier otro número.
Por ejemplo, también es muy habitual usar como base el número e, porque los logaritmos con esta base tienen propiedades útiles cuando se trabaja con límites, derivadas, integrales y series. Al logaritmo en base ese le suele llamar logaritmo natural o logaritmo neperiano.
ejemplos:
Los logaritmos de base e se denominan naturales, hiperbólicos, y también de
Neper. Su escritura se abrevia poniendo logea y a veces lna y también con la
o en a. En cuestiones especiales se usan otras bases.
El conjunto de logaritmos de una misma base se denomina sistema de logaritmos en dicha base.
La base de todo sistema de logaritmos es siempre un número positivo mayor que 1.
En cualquier sistema de logaritmos se verifican ciertas relaciones fundamentales que es conveniente destacar:
1. El logaritmo de un número, cuando existe, es único. (En el campo real.)
2. El cero carece de logaritmo; si una variable positiva tiende a cero, los respectivos logaritmos tienden a infinito.
3. El logaritmo de la base es 1.
4. El logaritmo de 1 es cero.
5. Los números negativos carecen de logaritmo.
6. Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los de los menores que 1 son negativos.
7. La misma relación de igualdad o de desigualdad que hay entre dos o más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.
8. El logaritmo del producto de varios factores es la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
9. El logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.
10. El logaritmo de una potencia es el producto entre exponente y el logaritmo de la base.
11. El logaritmo de la raíz enésima de un número es el cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
12. El logaritmo del inverso multiplicativo de un número es el opuesto del logaritmo de dicho número.
13. .El logaritmo de una suma o de una diferencia no es la suma o diferencia de los logaritmos de los términos de una u otra, respectivamente.
14. A partir de un cierto valor se verifica que si dos números difieren muy poco, también sus logaritmos difieren muy poco entre sí. Esta propiedad es muy importante porque permite la interpolación lineal.
El conjunto de logaritmos de una misma base se denomina sistema de logaritmos en dicha base.
La base de todo sistema de logaritmos es siempre un número positivo mayor que 1.
En cualquier sistema de logaritmos se verifican ciertas relaciones fundamentales que es conveniente destacar:
1. El logaritmo de un número, cuando existe, es único. (En el campo real.)
2. El cero carece de logaritmo; si una variable positiva tiende a cero, los respectivos logaritmos tienden a infinito.
3. El logaritmo de la base es 1.
4. El logaritmo de 1 es cero.
5. Los números negativos carecen de logaritmo.
6. Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los de los menores que 1 son negativos.
7. La misma relación de igualdad o de desigualdad que hay entre dos o más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.
8. El logaritmo del producto de varios factores es la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
9. El logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.
10. El logaritmo de una potencia es el producto entre exponente y el logaritmo de la base.
11. El logaritmo de la raíz enésima de un número es el cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
12. El logaritmo del inverso multiplicativo de un número es el opuesto del logaritmo de dicho número.
13. .El logaritmo de una suma o de una diferencia no es la suma o diferencia de los logaritmos de los términos de una u otra, respectivamente.
14. A partir de un cierto valor se verifica que si dos números difieren muy poco, también sus logaritmos difieren muy poco entre sí. Esta propiedad es muy importante porque permite la interpolación lineal.